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「空間構造を理解するための新しいツール 
zometool ゾムツール」

『エジソンのたまご』ご来店ありがとうございます。 
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 zometool(ゾムツール)はTime誌で頭のよくなる
14のおもちゃに選ばれました
 
  *ゾムツールを小学生のお子様に遊んでいただきたい理由がある 
 
 
 あっと驚く宇宙時代の模型道具、それがゾムツールである。これほどの簡単な部材で、なぜこんなにまでバラエティに富んだ形が、しかも簡単に生まれるのだろうか。    京都大学名誉教授 工学博士宮崎興二先生 
Introduction to ZOME-A new language for understanding the structure of space 
 zometool (ゾムツール)入門
 ポール・ヒルデブラント 
第60回形の科学会
場所 東洋大学にて 
 zometoolについて発表ゾムツールバブルzometool
 本稿では、ゾムツールの基礎となる基本的数理と、教育における数学の数的読解力の重要性について論考する。
 ゾムジオメトリー
ゾムツールは、空間構造を理解するための新しいツールです。言い換えると、ゾムは数学の体験ツールです。数学は「科学の女王」と呼ばれてきました。そして、ゾムの簡潔な美しさは、形に関する学会で発表されるあらゆる学問分野に適応されます。ゾムのノード(ボール)とストラット(棒)、それぞれ点と線を意味しており、簡潔かつ直観的に、空間に2、3と5という数の関連性を具体化するように設計されています。ストラットの形、空間のベクトル、ストラットの長さとそれが表す数字には関連性があります。 
 
 zometool黄金比
  形−それぞれのストラットは、数字を意味します。青いストラットが黄金長方形の断面となることに注目してください。長い辺と短い辺とは黄金分割されています。すなわち、短い辺の長さが1であるならば、長い辺はおよそ1.618です。長方形には2つの短い辺と2つの長い辺があり、2方向に2倍の対称性を持ちます。この長方形に関するすべてが数字の2と関連があるようです。
 
 ゾムツール青のストラット
  青いストラットが数字の2を表わすとすれば、ゾムツールの青いストラットのみでは正方形しか作れません:正方形は、2x2の辺、2x2の角と2x2の軸に沿って2倍の対称性を持ちます。正方形に関するあらゆる事が数字の2に関連があるようです。立方体はどうでしょう?
 
立方体は2×3の面 
  ベクトル?立方体は正方形から作られるため、青いストラットで立方体を造ることは、論理的なことでしょう。しかし、立方体は2x3の面、23の角と2x2x3の辺を持ちます。そして、3+2x2+2x3=13の対称軸を持ちます。立方体はゾムツールの数字の2(青いストラット)で造られているにもかかわらず、数字の3が存在し続けます。
 
 
 
それは、黄色い(3倍の)線を立方体で発見できることを意味します。3つの正方形が結合される角に当然表れます。そこで、黄色のストラットを軸にして、立方体を3回回転させると、最初の位置に戻ることに注目してください。言い換えると、黄色い線は立方体の3倍の回転対称軸となります。
 
ゾムツール6つの正三角形 
  それを確認するもう一つの方法は、影を投影することです。数字の3の(黄色い)線を光に向け、影を光に対して垂直の面に投影すると、六角形が映ります。言い換えると、数字の6の2次元バージョンまたは2次元の2x3が表れます。6つの角、6つの辺、中心に向かって6つの輻(や)を持ちます。それは6つの正三角形から成ります。
 
 長さ−これはストラットの形、空間におけるそのベクトルとそれが表現する数字の関連性を示します。では、ストラットの長さはどうでしょう?
 ゾムツールでつくったルート3を2で割ったものでコサイン30です。ゾムツール 3角形
  (a)                   (b)
  向かい合う、立方体の角の1つから相対する角まで3倍の対称線をたどることができます。ということは、ピタゴラスによると、長さは12+ 12 + 12の平方根つまり、ルート3を2で割ったもので、コサイン30oです(a)。黄色のストラットは、ゾムツールの青いストラットで造られる正三角形の高さであることが確認できます。黄色のストラットの長さは3(b)に関連があることを示すもう一つの方法です。
 
 
では、赤いストラットはどうでしょう?これらは、ゾムでの数字の5を表します。私たちは立方体が数字の2と3から「作られる」ことを確認しました。では、数字の5は立方体に発見できるでしょうか?数字の3の線と同様に、5の線に沿って投影してみましょう。たとえどこに赤いストラットを挿入しても、常に同じ影になります。長い辺の長さは、1/(コサイン18°)または1/コサイン(PI/2x5)の面白い長方形が出来ます。 
 
  数字の5を立方体において見つけるもう一つの方法は、その上に屋根を作ることです。寄せ棟屋根を立方体面の1平面に作るために、短い青いストラットを使います。同じ屋根を立方体の全ての面に作ると、12の正五角形でできている多面体である、12面体が出来ます。そして、赤いストラットが中心から各々の五角形の面に対して垂直であるのを確認することができます。
 
赤い線に沿って12面体の影を投影すると、外側の形は十角形になります。それは、2x5(すなわち青x赤)辺と2x5の頂点(a)を持ちます。2つ目の図で、12面体(b)の中に、1対1/cos18oの割合で出来た変わった立方体の投影図を見ることができます。
赤いストラットの長さは、正五角形の高さとみなされます。言い換えますと、コサイン18?またはPi/2x5のコサインです。ということから、黄色のストラットが数字の3であり、青いストラットが2であるように、赤いストラットの交差部分、ベクトル、長さは数字の5に密接な関連があることがわかります。それは、ゾムを理解することの第1歩です:それは、2次元、3次元、さらなる高次元における数字の2、3と5の関連性を示すものです。
  (a)               (b)
 (a)               (b)
シャボン玉−ゾムとシャボン液を使って、最小面積の問題を説明することができます。たとえば、3都市にケーブルを最短でつなぐにはどうしたらよいでしょうか?まず三角形(a)から考え始めるかもしれませんね。しかし、辺のうちの1つを取り除いても、3箇所はまだ繋がれたままとなります(b)。
シャボン玉は、より効率的な解決方法を示します:それぞれのケーブルは三角形の中心に向かっています(a)。正方形の角と相当する4つの都市で同じように、問題を解決する際も、多分同じアルゴリズムを使用するでしょう:この場合は、点を中央に置き、その点をつなぎます(b)。しかし、それは正解ではありません。
 (a)           (b)           (c)
シャボン玉は、常に最も効率的な解決方法を示します(a)。この正確なグラフ(b)がその2倍の(または青の)対称軸(c)に沿って立方体-12面体モデルの投影図の中に現れるのは、興味深いことです
数学的にこれを確かめることができます。また、相当するゾムのストラットを並べて、どちらがより短いかを見ることによって、実際にそれを確認することができます。
 (a)           (b)           (c)
洗練された構造を持つ蜂の巣のように、シャボン玉はまた、最も密接して詰め込んでいく際の問題を図解することも出来ます(a)。最大の数の蜂を最小限の空間に詰め込むための理想的な形が、3次元上の六角形のように空間を埋めていく(b)、菱形12面体(c)であります。
(a)             (b)
この形は、また、4次元立方体の影の地殻ともみなされます。
菱形12面体を詰め込むことは、ダイヤモンド構造に密接に関連があります。四面体(a)または三次元の数字の3の形のシャボン玉で、炭素原子を図解することができます。次に説明していきますが、このモデル(b)は4次元の数字の3の影とみなすことができます。
(a)             (b)
ダイヤモンドの炭素構造は、自然界で見つかるダイヤモンド構造と位相同形の結合する5つの八面体を確認でき、八面体のフレームで作られるシャボン玉で見ることができます。ダイヤモンド構造の単一セルは、(b)で示されます。
(a)             (b)
ゾムを使ってグラファイトをモデル化することもできます。多くの新しい炭素構造、例えばバッキーボール(a)とナノチューブ(b)は50年代に日本の科学者によって理論立てられ、アメリカ人によって80年代に立証されました。ナノテクノロジーは、化学の宝庫です。医薬品のより効率的な伝達システムからハイブリッド車の超効率的なバッテリーまで、ありとあらゆる新しい適用方法が考えられる分野です。 
4次元の形をシャボン玉で図解することができます:上で述べたとおり、四面体のシャボン玉は、4次元の三角形の影、またはそのものです。ゾムにおいて、黄色い線は1次元の数字の3であると考えます。一方、三角形は2次元の数字の3、四面体は3次元の数字の3です。2点は1次元の数字の3を定義し、3本の線は2次元の数字の3を形づくり、4つの三角形は三次元の数字の3を形づくり、5つの四面体は4次元の数字の3をつくります。
立方体のシャボン玉は、4次元の正方形または超立方体の影を投影します。この場合、2点は1次元の4(線)を定義し、4本の線は2次元の4(正方形)を形づくり、6つの正方形は三次元の4(立方体)を形づくり、そして、8つの立方体は4次元の4(超立方体)を形づくります。3次元立方体がいくつかの2次元の影を投影するように、4次元立方体の影は上記にあげた蜂の巣の例と同様に有効なものです。
12面体のシャボン玉は、4次元の五角形(別名、高次元12面体または120胞体)の種です
vZomeデモンストレーション
ゾムのパーツを使って、120胞体の影を作製すると2時間位かかります。しかし、スコット・ボースマン氏により開発されたヴァーチャルゾムプログラム、vZomeを使用すれば数分で作製できます。12面体が12個の五角形の辺が重なり合い形成されるように、120胞体は、120個の12面体が面で重なり合い形成されます。
  
(a)             (b)
 
  (c)              (d)
あなたがモデルに精通しているならば、対称操作を使用し段階的に作成するのが最も簡単な方法です。120胞体の影は、20面体の対称性、または以前に説明した2倍、3倍、5倍の対称性の組合せた性質があります。赤い(5倍の)ストラットでこの操作をするならば、計12本の赤ストラットが必要となります。(5x12=60) また、黄色い(3倍の)ストラットで行うなら、計20本のストラットが(20x3=60)、そしてこの操作により30本の(2倍の)青いストラットを使います。(2x30=60)20面体の対称性操作は、1本の緑のストラットを60本に分割します。これは、緑のストラットは「ゾムの空間」において数字の1を表現するという考え方に通じます。(1x60=60)
  
(a)             (b)
 
 (c)              (d)
ゾムの120胞体の影は、「第一のセル」の影と呼ばれています。実践的には、これはモデルの中心が正12面体であることを意味します。事実、これはモデルの中の唯一均整のとれたセルです。その他は、全て投影によってゆがめられます。私はこれらを「太った赤いセル」(赤い(5倍の)軸に沿って「押しつぶされた形」)、「黄色いセル」(黄色の(3倍の)軸に沿って「押しつぶされた形」)、「細い赤いセル」(これも、赤い(5倍の)軸に沿って「押しつぶされた形」)と「平らな青いセル」(何度か確認した正12面体の2次元への投影です)と呼びます。このモデルでは、75個のセルだけが見えています。残りのセルは、あなたが実際に見ているものと直線で並んでいます
 
(a)             (b)
  
 (c)              (d)
細胞が4次元から3次元へ投影される時、どのように「押しつぶされるか」を理解するために、3次元から2次元への類似ケースを考えると分りやすいでしょう。五角形が12面体の「セル」であると仮定しましょう。五角形が赤い(5倍の)対称軸にそっていれば、それは正五角形です。(a)しかし、それを(b)や(c)のように回転させ「つぶす」と、次第に、我々の視界では垂直となり、線分となります。(d)こうして、2次元から1次元へつぶされます。ゾムの120胞体の投影は、このような4つの五角形のみから成ります。同様に、ゾム 120胞体モデルの中心の正12面体は、我々の3次元世界と平行である超平面に存在します。モデルの「表面」に向かって動くと、個々の種類のセルと接する超平面は、我々の世界に対してより大きな連続するハイパーアングル(超角度)に存在します。それは、我々が存在する3次元と「垂直」となる超平面に存在する、平らな青いセルに到着するまで続きます。
正12面体より始めます。3つの五角形が12面体のそれぞれの頂点で結合しています。そして、モデルの中心よりセルの隣接する2つの頂点に向かって2本の黄色い(3倍の)線を引きます。黄色い線は、それぞれ以前出てきた立方体の対角線と同じです。(立方体では、3つの正方形がそれぞれの頂点で結合しています。
頂点が重なることにより、120胞体内の最初の正12面体セルの一辺が出来上がります。
   
   
  (a)          (b1)        (b2)        (c1)
 (c2)        (d1)       (d2)         (e)
12面体の一辺を見つけることや対称性によって、完成させること出来ます。(a)この方法で、徐々にストラットを組立てていき、120胞体を構築することができます。均整の取れたセルを12個の太った赤いセルが囲みます。(b)太った赤いセルを20個の黄色いセルで囲みます。(c)これらの黄色いセルを12個の細い赤いセルで囲みます。すると、これらのセルは、モデルの表面に青い平らなセルを形成します。(e)これらは、我々が以前に見た、青い(2倍の)軸に沿って投影された12面体の影と同じである事に注目してください。これは、実に美しいモデルです。しかし、我々の世界とどのように関連があるのでしょうか。古代のギリシア人は12面体を第5要素と呼び、天国の形を表現するために用いました。ヨハネス・ケプラーは一連の5つのプラトンの固体が既知の惑星の間の距離を測定すると信じていました。そして、その考えが誤りであった事を証明する為に、現代の宇宙論の基本原則を確立しました。そして、現在、電波望遠鏡のデータより、我々の世界は、有限であり、高次元12面体に類似した鏡の家のような形をしているのではないかと考えられています。
vZomeプロジェクトを使うことにより、数分で1s と 0sの120胞体が構築できます。
現在VZOMhttp://www.vorthmann.org はからジャヴァ/ウェブスマート形式でダウンロード可能です。
数的読解力と教育
もし、我々が1sと0sの仮想世界を構築出来るのなら、数字の2, 3と5で何が出来るのかを考えてみましょう。これらは、最初の3素数であり、とフィボナッチ数列の最初の「非デジタル」な3つの数字です。そして、当然ながらゾムの中で関連性を支配する黄金分割に通じるものです。実際、これらの数は、我々の自然や人工的な構築物の世界の基礎単位とみなされます。ナノテクノロジーや宇宙の理論上の形等の例に加えて、自然界における成長、バイオテクノロジー、準結晶の発見によって打ち立てられた材料科学における「コペルニクス革命」、原子の構成要素の構造、人工知能、新しい工業技術、建築物の構造等、多くの分野でこのような関連性を見つけることが出来ます。この言語への理解が進めば、我々は、現在の理解力を越えた更なる知識と富を得ることが出来るでしょう。私は、ゾムを「空間構造を理解するための新しい言語」と呼びました。このような理解力を、数的読解力と呼びかえることも出来るでしょう。読み書きの能力が重要視されてきた事と同じように、数的読解力は、21世紀において重要な地位を占めるだろうと私は考えます。
識字能力 ? 読み方を学ぶために、我々は2つの別の抽象概念(モノからそれを表現する音、そして、その音からその音を表現する抽象的な記号)までジャンプしなければなりません。また、記号を統合する為、例外も多い複雑な文法一式を学びます。こんなに複雑なことを、牛乳一杯をコップに注げるようになる前に、覚えなければならないのです。つい近年まで、読むという事は特権エリート階級だけに重んじられた能力であった事も不思議ではありません。しかし、現在では、生きる為に必要な技術と
なりました。
識字能力は、何処に住む人にとっても、生活水準を上げる為に最も重要な要因の1つだと言えるでしょう。また、子供たちにとっても、将来を決定づける大切な要因であると言えるでしょう。
我々は、物語が好きなので、誰でも自然と識字能力が身に付く傾向にあります。子供達には、ことばが話せるようになる前から、お語を聞かせ、読み書きの基本を学習する前に、ゆっくりとお話し好きに育てます。これは、大仕事ですが、生来の物語大好きの状態と、識字能力の技術的発達の間に橋を架けることに成功すれば、子供達のその後の人生を物質的にも精神的にも豊かにするような魔法が起こります。
数的読解力 − 数学に関しても、同じように、誰でも数的読解力を自然に習得できます。我々はパターンが好きです。例えば、鉄道線路を進むとき、あなたは数字の2を感じるでしょう
1-2、1-2と。または、児童書の詩、『魚一匹、魚二匹、赤い魚、青い魚』もそうです。実際、我々の殆どが、この世に誕生するや、2倍の反射対称性をもつ母親の顔を見ることで、数字の2と遭遇しました。リズムやバランスのような単純なものは、我々が数字のことを意識することさえなく数字を感じる基本的なものです。数字のセンス、または数的読解力への自然な敬愛と言えるでしょう。
しかし、学校に入学したとたんに、子供達の数字に対して感じている自然な親しみと、子供達に課せられる抽象的な数学との間に、わざわざ橋を架けようとする人がいるしょうか。
数学者、エンジニアや科学者は、十二分に数的読解力を評価し、また、自分たちの子供に直観的な数字のセンスを育もうとするかもしれません。特に才能がある一部の子供たちは彼らの生来の数字のセンスと黒板に書かれた抽象的符号を関係付けるために、自分で勉強するでしょう。しかし、殆どの子供たちは、数学を苦手な課題と考えるか、最悪な場合には、数学に対する不安を抱くようになります。
私の育った文化では、数的読解力はほとんど評価されません.
アメリカ人に数的読解力とは、と尋ねれば、彼らはあなたを唖然として見つめるでしょう。その結果、数学に対する不安感は、代々にわたり、引き次がれていくことになります。数学を恐れて、嫌うように教えられた子供たちは成長し、やがて、学生達に数学に対する嫌悪感を与えかねない教師となります
ゾムは、こういった隔たり埋める為の道具です。子供たちが、青、黄色、赤のストラットを手の中で取り扱うことにより、指先に数字の2、3、5の形を感じることが出来るでしょう。ゾムの共同創設者マーク・ペルティエ氏が言うように、「あらゆるボールに説明書はついているのです」しかし、家庭内で誰も楽器を演奏しなければ、ピアノのみで音楽の鑑賞能力を構築することは難しいように、ツールだけでは、数的読解力の文化を構築するのは難しいでしょう。豊かな収穫を実らせるためには、我々は、自分達の子供たちや、公立学校や施設で数的読解力を慎重に深めていく必要があるでしょう
常に我々が見聞きする、この世界の全てが、数学 です。アインシュタインは、「想像力は、知識より重要である」と言っています。しかし、直感的な数字への想像力と抽象的な数学の「厳格な美しさ」の中に含まれる知識の2つを結びつけたとき、我々は、より良い世界を築くための、人類の精神世界の素晴らしい力に触れることになるでしょう。
*我々は子どもの頃から、幼稚園のブロック等の基本的なユニットである立方体に既に接している為、ほとんどの人にとって、立方体に数字の3を「見る」ことは難しいでしょう。ブロックは、通常、重力に従います。もし1つの角で簡単にそれらの釣合いをとることができれば、立方体の3倍の性質は明らかとなるでしょう。
*ゾムのストラットの相対的な長さは、単位元 1(青)、コサイン30°(黄色)、コサイン18°(赤)とコサイン45°(緑)です。私が青のストラットを1次元の数字の2と言うのは、それはその長さが2であるからでなく、それが空間において2倍の対称軸を表すからです。
*五角形が赤い平面にあります。赤の平面は赤の線と常に垂直となり、ゾムにおいて5倍の対称性があります。同様に青い平面は青の線と垂直となり、黄色い平面は黄色の線に対して垂直です。各々はその色の対応する対称性があります。
*三角柱で出来る3次元のシャボン玉は、2次元上に解決策を示します。つまり、ここでは、青い(2倍)対称軸にそって影が投影されているのです。
*ゾムのハーフグリーンストラット(長さコサイン45o)を使うと、直観的に一解決法に至りがちですが、それは間違いです。正方形の辺の長さが1なら、最初の解決法では4x cos.45 = 2.82のケーブルが必要となるのに対し、「シャボン玉」解決法は4 x cos. 30o + t-1 = 2.759で済みます。
*『影』とはここでは『投影図』を意味します。
*八面体のフレームは、いくつかの異なるシャボン玉を作ります。ダイヤモンド構造は、最も自然または、安定している形と言われていますが、それは、自然界でダイヤモンドを見つけるように、実際に「見る」ことは難しいでしょう。
*この一連の定義は数学的に終始変わらないものです。これらの4面体の多胞体の恐らく最高61次元までゾムツールのモデルを造ることができるでしょう
*シャボン玉の例は超立方体の第一のセルの透視投影です。一方、中央の菱形12面体は第一の点の平行投影です。
*現在vZomeはwww.vorthmann.orgから ジャヴァ/ウェブスマート形式でダウンロード可能
*「超平面」とは、3次元空間の別の用語です。
*Weeks, et al, Nature, 9 October, 2003
*プリンストンIASプロジェクトにおいて、最初の電子デジタルコンピューター機能を研究した、私の父、T.W.ヒルデブラント博士は、数学者フォン・ノイマンが遠い未来、コンピュータの1つの使用方法として画像処理を予知していたと発表しています。
*公の教育より芝生の手入れにお金を費やす我々の国では、何の不思議もなく起こりうることです。
*特に直観的な数字のセンスに恵まれているが、抽象的な数学との隔たりを埋めることの出来ない子供たちは、しばしばアーティストや音楽家になることがあります。
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ZomeTool(ゾムツール)とは
子供のための多面体などあらゆる物を作れる(多次元の空間を構成できる)キットです。そして、学校教師や大学の研究者(数学者、建築学者の方)にも使われています。ABSプラスチックで正確作られた、Zomeシステムは、31次元以内の四次元以上の空間を表わす空間の構造、測地線スペース構造構造、および準結晶とフラーレンを含む分子模型をモデル化します。 いろいろな形を生み出し、自由な発想を助け、想像力を無限に表現します。手先を使うことによって、大脳を刺激し、知力の発達をそくします。
形を作るキットでは、現在、最高の理論的背景、最高の制度を誇るzometool
ゾムツールをあなたのお子様に
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クルマ、トラック、ヘリコプター、蛇、家、白など多くのものが出来ます ボールと棒によってつなげていきます。角度と支柱の長さは数学的に精密で、その為数千の形を作ることが出来ます。
子供達は実際に手を動かしながら、イメージの中に、立体を自然に構築できるようになっていきます。この感覚ができ、さらに数学的な教養が付加されてプログラミング能力ができたとき、さらに宇宙の本質の本質へと深く分け入る力を獲得していくでしょう。その繰り返しが、人類の純粋科学の歴史でもありました。
ZOMETOOL(ゾムツール)は
62の幾何学(三角形、長方形、五角形の3種類の面)の穴を持つ直径約2cmの球(ボール)をノードと
黄色、青、赤の3色で長さが、中・短・超短の3サイズの棒(先端の形状が
黄色は三角青は長方形,赤は、5角形で、黄色と赤の棒の両端は、まん中で180度にずれている球と棒で成り立っています。棒をストラットといいます
zometool(ゾムツール)で学べること
図形と関連した数学と科学概念の問題解決と建築学におけるモデルを作ることができる。
 6歳から小学生の遊び方
中学生ロケット船、結晶花、DNA、分子、デザインなど高度なデザインを築くためにzometool(ゾムツール))を使います。高校生〜大学生・大人建築のモデル、科学、数学概念を調べるため、ゾムツールで楽しみます。これらの人々は美術、エンジニアリング、数学、コンピューター、および建築に興味があるかた
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*美術・・・プロポーションやスケール、対称性、透視図法、タイリング、建築デザイン
*生物学・花・果実の対称性、フィボナッチ数列、ハニカム構造、細胞やDNAの構造
*化学・・・基本的な分子構造からフラーレンなどの複雑な分子まで
*工学・・・都市計画や資源の分配、社会工学におけるアートとデザインの役割
*地学・・・結晶構造
*数学・・・幾何学、数の感覚、代数、三角法、数列、フィボナッチ数列
*力学・・・建築構造、重力と応用、表面張力
第60回 形の科学会Zometoolゾムツール入門
ポール・ヒルデブラント氏が発表の様子
「ゾムツール入門」 ポール・ヒルデブラント発表の内容
zometool(ゾムツールは単に空間のイメージを形成そして、算数の問題解決に限らず「脳を鍛える」のに最適の教具です
教材としてのzometool(ゾムツール)小学校 中学校 高校大学 算数、数学、理科、美術、建築の先生
数学、化学、建築、美術などの研究者の方zometool(ゾムツール)
小学校・中学校の先生に参考にしていただきたい
ゾムツールレッスンプラン

トポロジー次元直線平面立体そしてzometool(ゾムツール)
 
zometoolゾムツール販売店幾何学教材多面体キット
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